الجبر الخطي الأمثلة

أوجد القيم الذاتية/المتجهات الذاتية [[1,3],[4,2]]
[1342][1342]
خطوة 1
أوجِد القيم الذاتية.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI2)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 2 هي المصفوفة المربعة 2×2 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[1001]
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI2).
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة A التي تساوي [1342].
p(λ)=محدِّد([1342]-λI2)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I2 التي تساوي [1001].
p(λ)=محدِّد([1342]-λ[1001])
p(λ)=محدِّد([1342]-λ[1001])
خطوة 1.4
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ-λ0-λ0-λ1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ0λ-λ0-λ1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ0-λ0-λ1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ00λ-λ1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ00-λ1])
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ00-λ1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ00-λ])
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ00-λ])
p(λ)=محدِّد([1342]+[-λ00-λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[1-λ3+04+02-λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.3.1
أضف 3 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ34+02-λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف 4 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ342-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ342-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ342-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1-λ)(2-λ)-43
خطوة 1.5.2
بسّط المحدد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.1
وسّع (1-λ)(2-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=1(2-λ)-λ(2-λ)-43
خطوة 1.5.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=12+1(-λ)-λ(2-λ)-43
خطوة 1.5.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=12+1(-λ)-λ2-λ(-λ)-43
p(λ)=12+1(-λ)-λ2-λ(-λ)-43
خطوة 1.5.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1.1
اضرب 2 في 1.
p(λ)=2+1(-λ)-λ2-λ(-λ)-43
خطوة 1.5.2.1.2.1.2
اضرب -λ في 1.
p(λ)=2-λ-λ2-λ(-λ)-43
خطوة 1.5.2.1.2.1.3
اضرب 2 في -1.
p(λ)=2-λ-2λ-λ(-λ)-43
خطوة 1.5.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=2-λ-2λ-1-1λλ-43
خطوة 1.5.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=2-λ-2λ-1-1(λλ)-43
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=2-λ-2λ-1-1λ2-43
p(λ)=2-λ-2λ-1-1λ2-43
خطوة 1.5.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=2-λ-2λ+1λ2-43
خطوة 1.5.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=2-λ-2λ+λ2-43
p(λ)=2-λ-2λ+λ2-43
خطوة 1.5.2.1.2.2
اطرح 2λ من -λ.
p(λ)=2-3λ+λ2-43
p(λ)=2-3λ+λ2-43
خطوة 1.5.2.1.3
اضرب -4 في 3.
p(λ)=2-3λ+λ2-12
p(λ)=2-3λ+λ2-12
خطوة 1.5.2.2
اطرح 12 من 2.
p(λ)=-3λ+λ2-10
خطوة 1.5.2.3
أعِد ترتيب -3λ وλ2.
p(λ)=λ2-3λ-10
p(λ)=λ2-3λ-10
p(λ)=λ2-3λ-10
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
λ2-3λ-10=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.1
حلّل λ2-3λ-10 إلى عوامل باستخدام طريقة AC.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.1.1
ضع في اعتبارك الصيغة x2+bx+c. ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما c ومجموعهما b. في هذه الحالة، حاصل ضربهما -10 ومجموعهما -3.
-5,2
خطوة 1.7.1.2
اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.
(λ-5)(λ+2)=0
(λ-5)(λ+2)=0
خطوة 1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
λ-5=0
λ+2=0
خطوة 1.7.3
عيّن قيمة العبارة λ-5 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.3.1
عيّن قيمة λ-5 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-5=0
خطوة 1.7.3.2
أضف 5 إلى كلا المتعادلين.
λ=5
λ=5
خطوة 1.7.4
عيّن قيمة العبارة λ+2 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.4.1
عيّن قيمة λ+2 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ+2=0
خطوة 1.7.4.2
اطرح 2 من كلا المتعادلين.
λ=-2
λ=-2
خطوة 1.7.5
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة (λ-5)(λ+2)=0 صحيحة.
λ=5,-2
λ=5,-2
λ=5,-2
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
خطوة 3
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=5.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1342]-5[1001])
خطوة 3.2
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.1.1
اضرب -5 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[1342]+[-51-50-50-51]
خطوة 3.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.1.2.1
اضرب -5 في 1.
[1342]+[-5-50-50-51]
خطوة 3.2.1.2.2
اضرب -5 في 0.
[1342]+[-50-50-51]
خطوة 3.2.1.2.3
اضرب -5 في 0.
[1342]+[-500-51]
خطوة 3.2.1.2.4
اضرب -5 في 1.
[1342]+[-500-5]
[1342]+[-500-5]
[1342]+[-500-5]
خطوة 3.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1-53+04+02-5]
خطوة 3.2.3
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.3.1
اطرح 5 من 1.
[-43+04+02-5]
خطوة 3.2.3.2
أضف 3 و0.
[-434+02-5]
خطوة 3.2.3.3
أضف 4 و0.
[-4342-5]
خطوة 3.2.3.4
اطرح 5 من 2.
[-434-3]
[-434-3]
[-434-3]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=5.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-4304-30]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by -14 to make the entry at 1,1 a 1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -14 to make the entry at 1,1 a 1.
[-14-4-143-1404-30]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R1.
[1-3404-30]
[1-3404-30]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-4R1 to make the entry at 2,1 a 0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-4R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-3404-41-3-4(-34)0-40]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R2.
[1-340000]
[1-340000]
[1-340000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-34y=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[3y4y]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[341]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{y[341]|yR}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[341]}
{[341]}
{[341]}
خطوة 4
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=-2.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1342]+2[1001])
خطوة 4.2
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.1.1
اضرب 2 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[1342]+[21202021]
خطوة 4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.1.2.1
اضرب 2 في 1.
[1342]+[2202021]
خطوة 4.2.1.2.2
اضرب 2 في 0.
[1342]+[202021]
خطوة 4.2.1.2.3
اضرب 2 في 0.
[1342]+[20021]
خطوة 4.2.1.2.4
اضرب 2 في 1.
[1342]+[2002]
[1342]+[2002]
[1342]+[2002]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1+23+04+02+2]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.3.1
أضف 1 و2.
[33+04+02+2]
خطوة 4.2.3.2
أضف 3 و0.
[334+02+2]
خطوة 4.2.3.3
أضف 4 و0.
[3342+2]
خطوة 4.2.3.4
أضف 2 و2.
[3344]
[3344]
[3344]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=-2.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[330440]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 13 to make the entry at 1,1 a 1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 13 to make the entry at 1,1 a 1.
[333303440]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[110440]
[110440]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-4R1 to make the entry at 2,1 a 0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-4R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1104-414-410-40]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[110000]
[110000]
[110000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+y=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-yy]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[-11]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{y[-11]|yR}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-11]}
{[-11]}
{[-11]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[341],[-11]}
(
(
)
)
|
|
[
[
]
]
{
{
}
}
A
A
7
7
8
8
9
9
B
B
4
4
5
5
6
6
/
/
^
^
×
×
>
>
π
π
1
1
2
2
3
3
-
-
+
+
÷
÷
<
<
!
!
,
,
0
0
.
.
%
%
=
=
 [x2  12  π  xdx ]